第2章 集合论的一些基本概念

引言

由布尔（Boole）和康托（Cantor）在19世纪发展起来，在20世纪对数学产生了深远影响。本章只介绍基本概念，而不会系统地介绍集合论。

作为一个整体看待的一些事物的总体叫做集合。这个总体中的事物称给这个集合的元素，并说这个元素属于这个集合。

记号

  • 集合使用大写字母表示：$A$，$B$，$C$，$\cdots$，$X$，$Y$，$Z$
  • 元素使用小写字母表示：$a$，$b$，$c$，$\cdots$，$x$，$y$，$z$
  • “$x$是$S$中的元素”或“$x$属于$S$”：$x\in S$；“$x$不属于$S$”：$x\not\in S$
  • 集合的描述：
    • 使用大括号列出集合的所有元素。例如，小于10的正偶数的集合：$\{2,4,6,8\}$
    • 集合$S$是所有满足$P$的元素$x$的总体：$S=\{x : x\text{满足}P\}$
  • $A$的每一个元素也属于$B$，则$A$是$B$的一个子集，记作$A \subseteq B$。
  • 集合$A$和$B$同时满足$A\subseteq B$和$B\subseteq A$，当且仅当集合$A$和$B$的元素相同。此时称集合$A$和$B$相等，记作$A=B$。反之，称$A$和$B$不相等，记作$A\neq B$。
  • 如果$A\subseteq B$且$A\neq B$，则$A$是$B$的真子集。
  • 不含任何元素的集合称为空集，记作$\varnothing$。并约定空集是任何集合的子集。

序偶

集合是不涉及元素的顺序的，比如集合$\{3,4\}$和集合$\{4,3\}$是同一个（相等的）集合。但有些问题是需要保证有序的。比如平面解析几何中，点$(3,4)$和点$(4,3)$是不同的。此时称为序偶，使用小括号表记，形如$(a,b)$，以区别于集合的大括号。而且$a$称为第一个元，$b$称为第二个元。

序偶的概念可以有纯集合论的定义。

定义2.1 $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$。

定理2.2 $(a,b)=(c,d)$，当且仅当$a=c$且$b=d$。

证明：充分性是显而易见的。

必要性。根据定义2.1，$(a,b)=(c,d)$等价于$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$。因此根据集合相等以及子集的定义，$$\{a\}\in\{\{c\},\{c,d\}\}\text{且}\{a,b\}\in\{\{c\},\{c,d\}\}\text{。}$$假设$a\neq c$，则$\{a\}\neq\{c\}$，因此$\{a\}=\{c,d\}$。再根据集合相等的定义，$\{c,d\}\subseteq\{a\}$，因此$c\in\{a\}$。这与$a\neq c$相矛盾。所以假设不成立。必然有$a=c$。 再假设$b\neq d$，则$\{a,b\}\neq \{c,d\}$。否则，$b\in\{c,d\}$得$b=c$，$d\in\{a,b\}$得$d=a$。又因为已证$a=c$，可得$d=b$与假设矛盾，所以必有$\{a,b\}\neq \{c,d\}$。那么由$\{a,b\}\in\{\{c\},\{c,d\}\}$可得$\{a,b\}=\{c\}$，即$b\in \{c\}$或$b=c$。对称地，由$\{c,d\} \in \{\{a\},\{a,b\}\}$可得$d=a$。再由已证的$a=c$，又得到$b=d$与假设矛盾。所以假设不成立。必然有$b=d$。

两个集合的笛卡儿积

定义2.3 给定两个集合$A$和$B$，则由全体序偶$(a,b)$组成的集（其中$a\in A$，$b\in B$）称为$A$与$B$的笛卡儿积，用$A\times B$表示。

例 $R$表示全体实数组成的集合，则$R\times R$表示全体复数组成的集合。

关系与函数

设$x$和$y$为实数，则序偶$(x,y)$可以表示$xy$平面的一个点的直角坐标。而表达式$$xy=1\text{，}x^2+y^2=1\text{，}x^2+y^2\leq 1\text{，} x<y \tag{a}\label{eg-relation}$$表示序偶的集合，即满足表达式的所有序偶构成集合。这个集合称为平面关系，在$xy$平面描绘出相应的点集称为这个关系的图形。

关系的概念比例子$\eqref{eg-relation}$更一般化，即序偶$(x,y)$的$x$，$y$未必是数，可以是其它任何事物。

定义2.4 由序偶组成的任何集合都称为一个关系。

如果$S$是一个关系，则由$S$中所有序偶$(x,y)$的第一个元$x$构成的集合称为$S$的定义域，记为$\mathcal{D}(S)$；由第二个元$y$构成的集合称为$S$的值域，记为$\mathcal{R}(S)$。

例子$\eqref{eg-relation}$中第一个关系是特殊的，称为函数。

定义2.5 一个函数$F$是由序偶$(x,y)$组成的集合，其中没有两个序偶有同样的第一个元。也就是说，对任意的$(x,y)\in F$且$(x,z)\in F$，必有$y=z$。

根据定义，对于定义域中每一个$x$，有且只有一个$y$使得$(x,y)\in F$。通常称$y$为$F$在$x$处的值，并用$$y=F(x)$$来取代$(x,y)\in F$，表示序偶$(x,y)$在集合$F$内。

定理2.6 两个函数$F$和$G$是相等的，当且仅当 [list=lower-alpha]

  • $\mathcal{D}(F)=\mathcal{D}G$（$F$和$G$有同样的定义域）
  • 对于$\mathcal{D}(F)$中的任一$x$，都有$F(x)=G(x)$。

证明：必要性。$F$和$G$是序偶的集合，根据集合相等的定义有$F\subseteq G$且$G\subseteq F$。对任意的$(x,y)\in F$都有$(x,y)\in G$，因此$\mathcal{D}(F)\subseteq \mathcal{D}(G)$；反之，对任意的$(x,y)\in G$也都有$(x,y)\in F$，因此$\mathcal{D}(G)\subseteq \mathcal{D}(F)$。于是，满足集合相等的定义，$\mathcal{D}(F)=\mathcal{D}(G)$。设$(x,y)\in F$，$(x,z)\in G$，再假设$y\neq z$。那么$(x,y)\not\in G$，否则与$G$是函数的前提相矛盾。而$(x,y)\in F$且$(x,y)\not\in G$又与$F\subseteq G$相矛盾。因此假设$y=z$不成立，而必有$F(x)=G(x)$。 充分性。对于集合$F$的序偶$(x,y)$，其中$x\in \mathcal{D}(F)$，$y=F(x)$。因为$\mathcal{D}(F)=\mathcal{D}(G)$，所以$x\in \mathcal{D}(G)$。而又有$y=F(x)=G(x)$，所以$(x,y)\in G$。因此，$F\subseteq G$。对称地，可以得到$G\subseteq F$。根据集合相等的定义，$F=G$。

根据定理2.6可知描述函数$F$的一个常用方法：给出定义域$\mathcal{D}(F)$，以及对定义域中的任意$x$如何得到值$F(x)$。（函数是唯一确定的，因为不存在$\mathcal{D}(G)=\mathcal{D}(F)$且对任意$x$满足$G(x)=F(x)$的另外一个函数$G$）

关于函数的进一步的术语

当定义域$\mathcal{D}(F)$是$R$的一个子集时，$F$称为一元实变量函数。如果$\mathcal{D}(F)$是$C$的一个子集，则称$F$为单复变量函数。

如果$\mathcal{D}(F)$是笛卡儿积$A\times B$的一个子集，则称$F$是二元函数。此时，函数值用$F(a, b)$而不是$F((a,b))$表示。当定义域$\mathcal{D}(F)$是$R\times R$的子集时，称$F$为二元实变量函数。

如果$S$是$\mathcal{D}(F)$的一个子集，则称$F$在$S$上有定义。在这种情况下，$F(x)$构成的集合（其中$x\in S$）称为*$S$在$F$下的象*，并记为$F(S)$。如果$T$是任何一个包含$F(S)$的集合，则$F$也称为*从$S$到$T$的一个映射*，通常记为$$F\colon S\to T\text{。}$$如果$F(S)=T$，则说映射是*到$T$上的*。$S$到其自身的映射有时称为*变换*。

如果两个函数$F$和$G$满足包含关系$G\subseteq F$，则$G$是$F$的一个限制，$F$是$G$的一个扩张。特别地，如果$S$的$\mathcal{D}(F)$的一个子集，且$G$对于一些在$S$中的$x$由方程$$G(x)=F(x)$$定义，则称$G$是$F$到$S$的限制。函数$G$由序偶$(x,F(x))(x\in S)$组成。它的定义域是$S$，值域是$F(S)$。

限制（restriction）

“限制”的这个说法要理解为“限缩”，“缩小”。当$G\subseteq F$时，$G$是$F$的限制。直观上，这并不意味着$G$比$F$范围大，可以限制住$F$的范围。反而是$G$比$F$范围小，$F$被限缩之后变成$G$。

关于函数$F$，“$F$到$S$的限制”的说法比较奇怪。英文表述为“restriction of $F$ to $S$”，即把$F$限缩到$S$上而得到的函数。因为$S\subseteq \mathcal{D}(F)$，直观上范围变小了。记为，$$F\restriction_S\colon S\to F(S)$$

对于一般的关系（包括函数），也有类似概念。对于关系$R=\{(x,y) | x\in E, y\in F\}$，如果把存在$A\subseteq E$把$x$范围变小，则称为左限制$$A\lhd R=\{(x,y) \in R\mid x\in A\}\text{；}$$反之，存在$B\subseteq F$把$y$范围变小，则称为右限制$$R\rhd B=\{(x,y)\in R \mid y\in B\}\text{。}$$

进一步，还可以定义反限制（anti-restriction），即$$A\unicode{x2A64} R = (E\setminus A)\lhd R\text{ 和 } R\unicode{x2A65}B = R\rhd (F\setminus B)\text{。}$$

1-1函数及其反函数

定义2.7 设$F$是定义在$S$上的函数，则$F$称为1-1函数，当且仅当对$S$中任意的$x$，$y$都有$$F(x)=F(y)\text{ 蕴含 } x=y\text{。}$$

定义等价于说$S$中不同的元一定对应于不同的函数值，这也称为单射（injection）。1-1函数很重要，因为它们有反函数。

定义2.8 给定一个关系$S$，由$$\breve{S}=\{(a,b)\mid (b,a)\in S\}$$定义的新关系$\breve{S}$称为$S$的逆关系。

一个序偶$(a,b)$属于$\breve{S}$，当且仅当元素交换后的序偶$(b,a)$属于$S$。当$S$是一个平面关系时，$\breve{S}$的图形是$S$的图形关于直线$y=x$的镜像。

定义2.9 假设关系$F$是一个函数，考虑其逆关系$\breve{F}$。它可能是函数，也可能不是函数。如果$\breve{F}$也是一个函数，则$\breve{F}$称为$F$的反函数，并记为$F^{-1}$。

定理2.10 如果函数$F$在定义域上是1-1的，则$\breve{F}$也是函数。

证明：要证明$\breve{F}$是函数，必须证明：如果$(x,y)\in \breve{F}$且$(x,z)\in \breve{F}$，则$y=z$。由$(x,y)\in \breve{F}$得$(y,x)\in F$，即$x=F(y)$；由$(x,z)\in \breve{F}$得$(z,x)\in F$，即$x=F(z)$。于是，$F(y)=F(z)$。因为$F$是1-1函数，有定义2.7知$y=z$。因此$\breve{F}$是函数。

注 当函数$F$在定义域$\mathcal{D}(F)$的子集$S$上是1-1的，则$F$对$S$的限制有反函数。

复合函数

定义2.11 给定两个函数$F$和$G$，满足$\mathcal{R}(F)\subseteq\mathcal{D}(G)$，则可以形成一个新的函数，称为$G$和$F$的复合函数$G\circ F$，定义为：对于$F$定义域中的每一个$x$有$(G\circ F)(x)=G[F(x)]$。

一般而言，交换律$G\circ F=F\circ G$是不成立的。而且，$F\circ G$可能是无意义的，除非$\mathcal{R}(G)\subseteq\mathcal{D}(F)$。但是，结合律$$H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F$$总是成立的，只要等式两边的表达式都有意义。

序列

在整数子集上定义函数是重要的例子。

定义2.12 所谓由$n$项组成的有穷序列，指的是一个函数$F$，它的定义域是数集$\{1,2,\cdots,n\}$。

$F$的值域是集合$\{F(1),F(2),\cdots,F(n)\}$，习惯上写成$\{F_1,F_2,\cdots,F_n\}$。值域中的元素称为该序列的项。当然，它们可以是任何事物。

定义2.13 所谓无穷序列，指的是一个函数$F$，它的定义域是所有正整数组成的集合$\{1,2,3,\cdots\}$。$F$的值域，即集合$\{F(1),F(2),F(3),\cdots\}$，也记为$\{F_1,F_2,F_3,\cdots\}$，而把函数$F_n$称为该数列的第$n$项。

为简单起见，有时用$\{F_n\}$表示第$n$项是$F_n$的无穷序列。

假设$s=\{s_n\}$表示一个无穷序列，并设$k$是一个函数，它定义域是正整数集，其值域是正整数集的一个子集。假定$k$是“保序”的，即假定有$$k(m)<k(n)\text{， 当}m<n\text{，}$$于是，复合函数$s\circ k$是对全体整数$n\geqslant 1$定义的，而且对每一整数$n\geqslant 1$有，$$(s\circ k)(n)=s_{k(n)}\text{。}$$这样一个复合函数称为$s$的一个*子序列*。为方便起见，常用记号$\left\{s_{k(n)}\right\}$或$\left\{s_{k_n}\right\}$表示$\{s_n\}$的第$n$项是$s_{k(n)}$的子序列。

相似（对等）集合

定义2.14 两个集合$A$和$B$称为相似或相等，并记为$A\sim B$，当且仅当存在一个1-1的函数$F$，它的定义域是集合$A$，而值域是集合$B$。

$F$在集合$A$和$B$建立了一个一一对应。

  • （自反性）显然，每个一个集合$A$都是相似于它自身的。（取$F$为“恒等”函数，即对$A$内任何$x$都有$F(x)=x$）
  • （交换律）如果$A\sim B$，则$B\sim A$。因为$F$是$A$到$B$的1-1函数，则$F^{-1}$是$B$到$A$的1-1的函数。
  • （传递性）如果$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$。
集合的势、基数

集合$A$的势（cardinality）记为$|A|$，表示集合的元素的个数，也就是集合的大小。有限集的势是非负整数（自然数）；无限集的势是超穷基数（transfinite cardinal number）。基数（cardinal numbers）是自然数的拓展，超穷基数是超限数，它大于任何有限数。

集合的势的比较：

  • $|A|=|B|$，$A$和$B$等势。存在$f\colon A\to B$为双射。等势也记为$A\sim B$或$A\approx B$。
  • $|A|\leq|B|$，$B$优势于$A$。存在$f\colon A\to B$为单射。符号也记为$\vert A\vert \preceq \vert B\vert$。
  • $|A|\lt |B|$，$B$真优势于$A$。$B$优势于$A$，且$A$与$B$不等势。符号也记为$\vert A\vert \prec \vert B\vert$。

注记 本书中常用1-1函数。1-1的原本指单射，但本书往往是讨论定义域和值域，因此隐含了满射，也就变成是双射。

有限集与无限集

一个集合$S$是有限集，它有$n$个元素，如果$$S\sim \{1,2,\cdots,n\}\text{。}$$这个整数$n$称为$S$的基数。

易证，$\{1,2,\cdots ,n\}\sim \{1,2,\cdots, m\}$，则$m=n$。所以，有限集的基数是容易确定的。

另外，空集$\varnothing$的基数定义为$0$。

不是有限集的集合称为无限集。

无限集必定相似于它自身的某个真子集；有限集不能相似于它任何真子集。

可数集与不可数集

一个集合$S$称为可数无限集，如果它对等于全体正整数组成的集合，即$$S\sim \{1,2,3,\cdots\}\text{。}$$此时，有一个函数$f$在正整数和$S$间建立一一对应。因此，$S$可表示为$$S=\{f(1),f(2),f(3),\cdots\}\text{。}$$通常使用下标并用$a_k$来表示$f(k)$，写作$S=\{s_1,s_2,s_3,\cdots\}$。这样的对应，可以使用正整数做下标来标记$S$的元素。

可数无限集的基数记为$\aleph _{0}$，读作“阿列夫零”。

定义2.15 一个集合$S$称为可数集它是有限集，或无限可数集。不是可数集的集合称为不可数集。

可数和不可数的英文通常是countable和uncountable，有时写作denumerable和nondenumerable表示。

定理2.16 每个可数集的子集都是可数集。

证明：设$S$是一个可数集，假定$A\subseteq S$。若$A$是有限集，则无需证明。于是，假定$A$是无限集（表明$S$是无限集）。设$s=\{s_n\}$是一个无穷序列使得$$S=\{s_1,s_2,s_3,\cdots\}\text{。，}$$且不存在相同项。再定义一个正整数的函数：

  • 令$k(1)$是使得$s_m\in A$的最小正整数$m$。
  • 假设已经定义了$k(1),k(2),\cdots,k(n-1)$，令$k(n)$是使得$s_m\in A$的最小正整数$m>k(n-1)$。

那么$k$是保序的：由$m>n$可得$k(m)>k(n)$。 构造复合函数$s\circ k$。如果$$s[k(n)]=s[k(m)]\text{，}$$可知$$s_{k(n)}=s_{k(m)}\text{，（函数$s\circ k$到无穷序列$s$）}$$ 这表明$k(n)=k(m)$（因为无穷序列$s$不存在相同项），这意味着$n=m$（因为$k$的保序性）。 因此，$s\circ k$是定义域为正整数集，值域为$A$的1-1的函数，即$A$为可数集。定理得证。

实数系的不可数性

定理2.17 由全体实数组成的集合是不可数集。

证明：证明满足$0<x<1$的实数$x$的集合是不可数集即可。假设该区间内的实数是可数的，则存在一个序列$s=\{s_n\}$，它的各项填满整个区间。将每一个项$s_n$写成无限小数：$$s_n=0.u_{n,1}u_{n,2}u_{n,3}\cdots\text{，}$$其中每个$u_{n,i}$是$0,1,\cdots,9$。考虑如下实数：$$y=0.v_{1}v_{2}v_{3}\cdots\text{，}$$其中，$$v_n=\begin{cases}1,\quad & \text{当}u_{n,n}\neq 1\text{，} \ 2,\quad & \text{当}u_{n,n}=1\text{。}\end{cases}$$显然，$y$的第一位小数$v_1$与$s_1$不同，第二位小数$v_2$与$s_2$不同……因此，$y$不同于$s_n$的任何一项。因为$0<y<1$但$y\not\in\{s_n\}$，所以假设不成立。因此，$0<x<1$区间的实数是不可数的。

幂集、康托定理

定义集合$S$的所有子集组成的集合称为$S$的幂集（power set），记为${\mathcal {P}}(S):=\{U|U\subseteq S\}$。

定义指示函数（Indicator function）为$$1_A(x)=\begin{cases}1,\quad &\text{当}x\in A\text{，}\ 0,\quad &\text{当}x\not\in A\text{。}\end{cases}$$则对于幂集$\mathcal{P}(S)$的元素$X$，可以定义$$f(X)=\{1_X(a)\mid a\in S\}\text{。}$$容易证明$f$是双射。因此，$\mathcal{P}(S)$和$\{0,1\}^{|S|}$两者等势，$|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}$。

（康托定理）任何集合$A$的基数严格小于$\mathcal{P}(A)$的基数，即$\vert A\vert < \vert\mathcal{P}(A)\vert$。 证明：（康托对角论证法）即证明$A$到$\mathcal{P}(A)$的任何函数$f$都不是满射。例举一个$A$的子集（即属于$\mathcal{P}(A)$）不属于$f$的值域即可。构造$$B=\left\{,x\in A:x\not \in f(x),\right\}\text{。}$$假设$B$在$f$的值域中，则存在$y\in A$，使得$f(y)=B$。考虑$y$和$B$的关系：

  • 若$y\in B$，则$y\in f(y)$。于是根据$B$的定义，$y\not\in B$，矛盾；
  • 若$y\not\in B$，则$y\not\in f(y)$。于是根据$B$的定义，$y\in B$，矛盾。 所以假设不成立，即$f$确实不在$B$的值域内，$f$不是满射。

对角论证法的名字，来源于下面的示意图。 $$ \begin{array}{c|ccccccccc} \mathbb{Z^+} & & & & &\mathcal{P}(\mathbb{Z^+})& & & & \\
\hline 1 & \{ & & & & & & & &\cdots\} \\
2 & \{ & 1 & \color{red}{2} & & & & & 7 &\cdots\} \\
3 & \{ & 1 & 2 & \color{red}{3} & & & 6 & &\cdots\} \\
4 & \{ & 1 & & 3 & & 5 & & &\cdots\} \\
5 & \{ & 1 & 2 & & 4 & & & &\cdots\} \\
6 & \{ & 1 & 2 & & 4 & & \color{red}{6} & 7 &\cdots\} \\
7 & \{ & 1 & & 3 & & 5 & 6 & &\cdots\} \\
\vdots & & & & &\vdots & & & &\\
\hline T & \{ & \color{red}{1} & & & \color{red}{4} & \color{red}{5} & & \color{red}{7} &\cdots\} \end{array} $$

把任意一个函数$f\colon \mathbb{Z^+}\to\mathcal{P}(\mathbb{Z^+})$列成表。注意对角线位置的元素，构造集合$T$。若$n\in f(n)$，则$n\not\in T$；若$n\not\in f(n)$，则$n\in T$。显然$T\in \mathcal{P}(\mathbb{Z^+})$，但是$T$不在$f$的值域内。

定理2.18 设$Z^+$表示全体正整数表示的集合，则笛卡儿积$Z^+\times Z^+$是可数集。

证明：在$Z^+\times Z^+$上定义函数$f$，$$f(m,n)=2^m3^n\text{， 当}(m,n)\in Z^+\times Z^+\text{。}$$则$f$在$Z^+\times Z^+$上是1-1的，而$f$的值域是$Z^+$的一个子集。

连续统（continuum）、连续统的基数、连续统假设

连续统

全序关系（total order）也称linear order, simple order, 或(non-strict)ordering。一个集合的元素满足，称为全序集合（totally ordered set），或线性序集合（linearly ordered set）、简单序集合（simply ordered set）、链（chain）。

连续统（continuum）是多个元素的线性序集合$S$，如果

  • （稠密）$S$的任何两个元素之间有第三个元素。$\forall x,y\in S, x < y \implies \exists z\in S, x<z<y$
  • （无洞）$S$的任何有上界的非空子集都有上确界。（参照第一章 完全公理）

$R$是连续统的一个例子。事实上，$R$是连续统的原型。

连续统的基数

定理2.17证明实数集的基数不同于可数集的基数$\aleph _{0}$，于是定义连续统的基数是$\mathfrak{c}$。

（1）证明$\mathfrak{c}\leq 2^{\aleph_0}$。

定义函数$f\colon R\to \mathcal{P}(Q)$，$$f(x)=\{q\in Q\mid q\leq x\}\text{。}$$该函数是单射。对于任意实数$x<y$，由阿基米德性质，必存在正整数$n$使得$n(y-x)>1$。于是存在正整数$m$满足$nx < m <ny$，即有理数$q=\frac{m}{n}$满足$x<q<y$。因此，$f(x)\neq f(y)$。其逆否命题即：若$f(x)=f(y)$，则$x=y$。因此，函数$f$是单射，或1-1的。

根据集合的势的比较定义，$\mathfrak{c}\leq \vert \mathcal{P}(Q)\vert = 2^{\vert Q\vert} =2^{\aleph_0}$。

（2）证明$\mathfrak{c}\geq 2^{\aleph_0}$。

首先，构造康托三分集。 对于区间$[0,1]$，进行三等分，并去掉中间的$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$。于是，得到不想交的集合（区间）$[0,\frac{1}{3}]$和$[\frac{2}{3},1]$。令两者分别对应于有穷序列$$ \begin{cases} F\left(\{0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3},\frac{1}{3}\right] \text{，}\\
F\left(\{2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3},\frac{3}{3}\right] \text{。} \end{cases} $$重复这个操作，对$[0,\frac{1}{3}]$和$[\frac{2}{3},1]$三等分并去掉中间部分，可以得到四个不相交的区间。令它们$$ \begin{cases} F\left(\{0,0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3}+\frac{\color{red}{0}}{3^2},\frac{0}{3}+\frac{1}{3^2}\right] \text{，}\\
F\left(\{0,2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3}+\frac{\color{red}{2}}{3^2},\frac{0}{3}+\frac{3}{3^2}\right] \text{，}\\
F\left(\{2,0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3}+\frac{\color{red}{0}}{3^2},\frac{2}{3}+\frac{1}{3^2}\right] \text{，}\\
F\left(\{2,2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3}+\frac{\color{red}{2}}{3^2},\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}\right] \text{。} \end{cases}$$对这4个区间重复以上过程，则$$ \begin{cases} F\left(\{0,0,0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3}+\frac{\color{red}{0}}{3^2}+\frac{\color{red}{0}}{3^3},\frac{0}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{1}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{0,0,2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3}+\frac{\color{red}{0}}{3^2}+\frac{\color{red}{2}}{3^3},\frac{0}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{3}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{0,2,0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3}+\frac{\color{red}{2}}{3^2}+\frac{\color{red}{0}}{3^3},\frac{0}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{1}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{0,2,2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{0}}{3}+\frac{\color{red}{2}}{3^2}+\frac{\color{red}{2}}{3^3},\frac{0}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{2,0,0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3}+\frac{\color{red}{0}}{3^2}+\frac{\color{red}{0}}{3^3},\frac{2}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{1}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{2,0,2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3}+\frac{\color{red}{0}}{3^2}+\frac{\color{red}{2}}{3^3},\frac{2}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{3}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{2,2,0\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3}+\frac{\color{red}{2}}{3^2}+\frac{\color{red}{0}}{3^3},\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}\right] \text{，}\\
F\left(\{2,2,2\}\right) & = & \left[\frac{\color{red}{2}}{3}+\frac{\color{red}{2}}{3^2}+\frac{\color{red}{2}}{3^3},\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{3}{3^3}\right] \text{。} \end{cases}$$如此无限重复下去，得到所有区间的并集称为康托集，或康托三分集。$$\mathcal{C}=\bigcup\limits_{\forall \{a_n\}} F\left(\{a_n\}\right)\text{，其中}\{a_n\}\text{是由}0,2\text{构成的无穷序列。}$$

由构造过程知，康托集的任一个区间$F\left(\{a_n\}\right)=[a,b]$必然长度为0，即$a=b$。如若不然，可以再次进行三分的操作。因此，$$\mathcal{C}=\left\{F\left(\{a_n\}\right)\right\}=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{3^n}\right\}\text{，其中}a_n\in \{0,2\}\text{。}$$而且它显然是实数集$R$的子集，即$\mathcal{C}\subseteq R$。

若无穷序列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$不同，则由康托集的构造过程可知，$f\left(\{a_n\}\right)$和$f\left(\{b_n\}\right)$属于两个不相交的区间，即一定不相等。所以，$f$是单射。因此，$2^{\aleph_0}\leq \vert \mathcal{C}\vert \leq \mathfrak{c}$。

当然，也可以构造$\mathcal{C}$到$[0,1]$的映射$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{3^n}\to \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\frac{a_n}{2}\text{。}$$即，映射到$[0,1]$上实数的二进制表示。

（3） 由于$\mathfrak{c}\leq 2^{\aleph_0}$，且$\mathfrak{c}\geq 2^{\aleph_0}$，根据康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理，$\mathfrak{c}= 2^{\aleph_0}$。

连续统假设（continuum hypothesis，CH） 定义大于$\aleph_{0}$的最小基数为$\aleph_{1}$，那么它与$\mathfrak{c}$的大小关系是什么？

连续统假设：$\aleph _{0}$和$\mathfrak{c}$之间不存在其它基数，即$\mathfrak{c}=\aleph _{1}$。

连续统假设是独立于$ZFC$公理系统的。因此，从集合论出发，它不能证明，也不能证伪。（只能选择是否接受）

集合代数

定义2.19 定义$A_1 \cup A_2$是这样一个集合，它的元素或者属于$A_1$，或者属于$A_2$，或者同时属于两者。

等价的说法是$A_1\cup A_2$的元素至少属于$A_1$或$A_2$之一。定义不涉及顺序，因此并集运算是可交换的，即$A_1\cup A_2$与$A_2\cup A_1$是一样的。同时，也可以知道该运算是可结合的，即$$A_1\cup \left(A_2\cup A_3\right)=\left(A_1 \cup A_2 \right) \cup A_3\text{。}$$

定义2.20 如果$F$是任意一个集族，则$F$内所有集合的并集定义为这样一个集合，它的元素至少属于$F$的某一个集合，记为$$\bigcup\limits_{A\in F}A\text{。}$$

如果$F$是有限集族，$F=\left\{A_1,A_2,\cdots,A_n\right\}$，可以写$$\bigcup\limits_{A\in F}=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k=A_1\cup A_2\cup\cdots \cup A_n\text{。}$$

如果$F$是可数族，$F=\left\{A_1,A_2,\cdots\right\}$，可以写$$\bigcup\limits_{A\in F}=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k=A_1\cup A_2\cup\cdots\text{。}$$

定义2.21 如果$F$是任意一个集族，则$F$内所有集合的交集定义为这样一个集合，它的元素至少属于$F$的某一个集合，记为$$\bigcap\limits_{A\in F}A\text{。}$$

两个集合$A_1$和$A_2$的交记为$A_1\cap A_2$，它由两个集合的共同元素组成。如果两个集合没有共同元素，那么$A_1\cap A_2$是空集，并称$A_1$和$A_2$是不相交的。

如果$F$是有限族，$F=\left\{A_1,A_2,\cdots,A_n\right\}$，可以写$$\bigcap\limits_{A\in F}=\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_k=A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_n\text{。}$$

如果$F$是可数族，$F=\left\{A_1,A_2,\cdots\right\}$，可以写$$\bigcap\limits_{A\in F}=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}A_k=A_1\cap A_2\cap\cdots\text{。}$$

如果集族的集合没有共同元素，那么交集就是空集。类似并运算一样，交运算也满足交换律和结合律。

对于不可数集族，交和并的定义仍然成立。

定义2.22 $A$关于$B$的余集，记为$B-A$，定义为集合$$B-A=\{x\colon x\in B\text{，但}x\not\in A\}\text{。}$$

明显的性质有

  • 如果$A\subseteq B$，则$B-(B-A)=A$。反之亦然。
  • 如果$A\cap B=\varnothing$，则$B-A=B$。反之亦然。

定理2.23 设$F$是一个集族，则对任何集合$B$有$$B-\bigcup\limits_{\forall A\in F}A=\bigcap\limits_{\forall A\in F}(B-A)$$和$$B-\bigcap\limits_{\forall A\in F}A=\bigcup\limits_{\forall A\in F}(B-A)\text{。}$$

证明：设$S=\bigcup\limits_{\forall A \in F}A$，$T=\bigcap\limits_{\forall A\in F}(B-A)$。若$x\in B-S$，则$x\in B$但$x\not\in S$。因$x\not\in S$意为$x$不属于$F$中任意一个$A$。所以，对于任意的$A$，都有$x\in B-A$。这表示$x\in T$。于是，可以得到$B-S\subseteq T$。上述论证过程倒过来，可以得出$T\subseteq B-S$。所以，$B-S=T$。第二个等式的证明类似。

可数集的可数族

定义2.24 如果$F$是一个集族，其中任何两个不同的集合都是不相交的，则说$F$是一个由不相交集合组成的集族。

定理2.25 如果$F$是一个由不相交集合组成的集族，$F=\{A_1,A_2,\cdots\}$，其每个集合$A_n$都是可数集，则并集$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$也是可数集。

证明：设$A_n=\{a_{1,n},a_{2,n},a_{3,n},\cdots\}$，$n=1,2,3\cdots$，并设$S=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$。那么，$S$的任何一个元素$x$都至少在$F$的一个集合内。因此，存在某一对整数$(m,n)$有$x=a_{m,n}$。因为$F$是不相交集合组成的集族，因此序偶$(m,n)$由$x$唯一确定。于是函数$f(x)=(m,n)$（当$x=a_{m,n}$，$x\in S$）是定义域$S$到值域$f(S)$的1-1的函数，即$S\sim f(S)$。值域$f(S)$是$Z^+\times Z^+$的一个子集。因此$S$是可数的。

定理2.26 如果$F=\{A_1,A_2,\cdots\}$是可数集族，设$G=\{B_1,B_2,\cdots\}$，其中$B_1=A_1$，而且对于$n\gt 1$有$$B_n=A_n-\bigcup\limits_{k=1}^{n-1}A_k\text{。}$$则$G$是由不相交集合组成的集族，而且有$$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}B_k\text{。}$$

证明：每一个集合$B_n$的构造使得它与它前面的集合$B_1$，$B_2$，……，$B_{n-1}$没有共同元素，因此$G$是由不相交集合构成的集族。设$A=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$，$B=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}B_k$，下面证明$A=B$。如果$x\in A$，则存在$k$满足$x\in A_k$。设$n$是满足条件的最小的$k$，则$x\in A_n$，但$x\not\in \bigcup\limits_{k=1}^{n-1}A_k$。于是，$x\in B_n$，进而$x\in B$。因此，$A\subseteq B$。反过来，如果$x\in B$，则存在$n$满足$x\in B_n$。于是$n\in A_n$，即$x\in A$。因此，$B\subseteq A$。

由定理2.25和定理2.26可立即得如下定理。

定理2.27 如果$F$是由可数集构成的可数集族，则$F$中所有集合的并集也是可数集。